左下の歯なのですが、ずいぶん前に虫歯がひどくなったので、神経を抜きました。

そして、この1月にその歯の歯茎が腫れたこともあり、以前のかぶせを取り、薬等を入れて、新しいかぶせを付け替えました。

しかし、2週間後にまた、歯茎が腫れました。その上、歯が痛みます。その歯を手で押しても痛みがあります。この痛みはかぶせを付け替える前からときどきありました。

それでお聞きしたいのですが、神経を抜いている歯でも、痛むことなどあるのでしょうか？また、歯茎が腫れることとも関係があるのでしょうか？

よろしくおねがいします。

神経を抜いた歯でも痛むことはあります。神経を抜いているので、温度の刺激（冷たいものや熱いもの）では痛みはないと思います。
歯茎が腫れるのは根の先の部分がまだ治っていない可能性があります。
ただレントゲン写真などの資料はありませんので、確定は出来ません。