現在アメリカに住んでいて、おそらく１年半以内には帰国を予定しています。
アメリカの歯医者にて、歯科矯正を薦められました。
理由は、
１.上の前歯が出ている事。（いわゆる出っ歯）
２.さらに、上の前歯２本の出っ張りが均等でない為、見た目が悪い事。
もし、アメリカで治療をはじめても、１年位では終わらないと思うので、日本で引き続き治療を行わなくてはならないと思います。
その場合、アメリカで付けた装置を使い続ける事はできるのでしょうか？
また、費用はどういった部分を新たに日本で負担する事になりますか？

>その場合、アメリカで付けた装置を使い続ける事はできるのでしょうか？
可能です。適切に装置が着いていれば取り替える必要はありません。
>また、費用はどういった部分を新たに日本で負担する事になりますか？
一般的には引き継いだ医院が管理も含めて診て行かなければならないので、新たに負担して頂くことになります。
負担の度合いは医院によって異なると思いますが、矯正装置や治療の進行度によって変わってくると思います。引き継いで頂く医院との相談となるでしょう。