先日、局所麻酔をかけて虫歯（前歯の隣）治療しました。
治療後、麻酔が切れたぐらいから歯茎がじんじんと痛み出し、陣痛のように波があります。痛いときは顔面が痛いくらい激痛です。
なるべく神経をとられたくないので、４日様子見ていますが（耐えている）、４日目なのにさらに痛みが強くなってます。
今日歯医者に行って痛みを説明してもあまりわかってもらえず、痛みの原因はわからずじまい、ボルタレン鎮痛剤の処方がありました。
歯自体はしみたり痛みはなさそうなので、たぶん歯茎だと思います！
その日に麻酔を何本か打ってますのでその辺の歯茎が痛いんだと思うんです。表面ではなく深部からジンジンと！ちなみに鼻の骨も痛いです。
こんなに麻酔によって痛みってあっていいんでしょうか？

文面から察するに麻酔ではなく神経の症状が疑われます。虫歯が深いのに無理に神経を保存した場合に上記のような症状が起きることがあります。
もうしばらく様子をみて改善しないようであれば神経の処置が必要かもしれません。
再度担当医にご相談下さい。

歯茎の痛みは消失しましたが、歯がたたくと痛いので、転院して他の病院で神経を取る処置をはじめました。まだ昨日神経を取ったばかりで歯はまだかわらず痛いですけど・・・。来週また続きの処置をする予定です。神経をとってもまだ痛むのでしょうか？

神経をとった直後は痛むことは良くあります。根の先に炎症が起こるからです。
詳しいことは担当医にご質問下さい。