2、3日前から、右下の奥の歯茎が腫れています。
親知らずが出てきたのかと思いましたが、そのような疼きとかではないような気もします。食べ物を噛んだりした時に痛みが増します。同居者に見てもらったところ、奥歯と、その歯茎の間に食べカスが詰まっているとのことを指摘されましたが、それが原因なのでしょうか？また、病院に行ったほうがよいのでしょうか？

その可能性も考えられますが、実際は拝見しないと分かりません。
一度病院で診察していただいた方が宜しいかと思います。