２週間ほど前に何かの拍子に顎がガクッとなった感じがあり、それから顎の付け根？（耳たぶの横辺り）に痛みがあります。
何もしない時は痛みなど無いのですが、口を大きく開けた時などに痛みが出ます。
あくびをした時や、口を大きく開けて食べる時など。
普通に食べる時などは痛くありません。

時間が経てば治るものなのでしょうか？
病院に行くとしたら、口腔外科になるんでしょうか？
その際、どのような治療が行われるのでしょうか？

ご質問の内容からすると顎関節症と考えられます。
今までこのようなことがなく、始めてのことであれば、経過をみていれば、なおる可能性も十分あります。
しかし、実際には、検査をしてみないと正確な判断はできませんので、顎関節治療専門外来を受診されることをお勧めします。

診療科は、顎関節症外来　や　口腔外科、噛み合わせ外来になります。
お近くの歯科医院で行っていなければ、歯科大学病院でれば、確実です。

治療方法は、その状態によって違いますが、
マウスピースのようなもので症状を緩和させる方法や
飲み薬で筋肉の緊張を取る方法、
矯正治療のよって噛み合わせの改善を図る方法、
等があります。
どのような治療法が適切であるかは、きちんとした検査を行い、判断することになります。
顎関節症の場合、放置したことにより、病状が悪化することがありますので、一度きちんとした検査をされることがお勧めします。