先月、右下奥から2本目の銀のかぶせものが取れ治療に行ったのですが・・・治療後も違和感があり昨日鏡でよく見たところかぶせのもをした隣の歯（奥から3本目）が欠けていることに気付きました。歯と歯の間（かぶせもの）に挟まれ欠けている歯が挟まった状態です。歯と歯の間が欠けることはあるのでしょうか？
治療中のミスによるものなのでしょうか？

治療中のミスではないと考えられます。
上記のような治療でとなりの歯が欠けることは通常考えられないからです。
欠けた歯にもともと虫歯があった可能性が考えられると思います。
（歯と歯の間にある虫歯は上から見ても分からないことが多く、進行してから突然穴があくことはよくあります）